Аксеоматичен подход при изграждане на геометрията

„Математиката, след като бе изградена на базата на няколко аксиоми и дефиниции като върху скала, се разрасна през вековете, за да стане най-солидното предприятие, с което може да се похвали човешкият разум”.

Т. Рийд

В систематичното изграждане на всяка математическа теория понятията и верните твърдения се излагат в известен ред, в който има ограничен брой първи понятия и дадени първи твърдения. Спецификата на подхода изисква да се приемат на „доверие” първите понятия без определения.и се наричат първични понятия. Съответно първите твърдения – без доказателство, наречени аксиоми.

При системното изграждане на една математическа теория задължително се указват нейните основни понятия и релации. Всички нови твърдения наречени теореми се доказват чрез аксиомите. Основните понятия, релации, и аксиомите на дадена математическа теория образуват аксиоматиката на конкретната теория.

Изграждането на математическите теории се реализира следвайки базисния подход:

Ако са дадени основните понятия, основните релации между тях, основни операции и аксиомите, се казва, че в множеството е зададена математическа структура.

Две математически структури се наричат изоморфни, ако между основните им обекти може да се установи взаимно еднозначно съответствие, при което се запазват основните отношения между основните обекти, операциите и аксиомите.

Ако две математически структури са изоморфни се казва, че те описват една и съща математическа теория.

Всеки конкретен избор на основните обекти, отношения и операции, при които се запазва верността на аксиомите, но след доказателство се нарича реализация на системата от аксиоми. Реализацията се осъществява на база на известна математическа теория.

Множеството от обекти, с помощта на които се реализира дадена система от аксиоми се нарича модел на дадена система от аксиоми.

Две релации на една и съща система от аксиоми са изоморфни ако между основните им обекти може да се установи взаимноеднозначно съответствие, запазващо основното отношение, операциите и аксиомите. За изграждане на всяка математическа теория е необходимо да се зададе структура, в частност система от аксиоми. При това системата от аксиоми задължително трябва да е непротиворечива, независима и пълна.

Дадена система от аксиоми се нарича непротиворечива, ако от нея не могат да се получат две противоречиви едно на друго твърдение. Изискването за непротиворечивост е задължителна към системата от аксиоми.

Една система от аксиоми се нарича пълна, ако каквато и друга аксиома да добавим, то новополучената система или е противоречива или новата аксиома е следствие на останалите.

Част от аксиомите на Евклид имат чисто геометричен характер и се наричат постулати:

1. През две точки минава само една и съща права.

2. Всяка отсечка може да се продължава непрекъснато по права линия.

3. От всеки център (точка) с всеки разтвор (радиус) може да се опише точно една окръжност.

4. Всички прави ъгли са равни помежду си.

5. И всеки път, когато права при пресичане с две други прави образува с тях вътрешни едностранни ъгли, сборът на които е по-малък от два прави, тези прави да се пресичат от онази страна, от която този сбор е по-малък от два прави.

Аксиоматичният подход на Евклид е доразвит през VIII – IX век от Паш, Пиери и особено от Давид Хилберт (1862 – 1943).

Хилберт приема за първични понятия точка, права, равнина, релация „лежи” („минава”), релация „между”, релация „еднаквост”.

Аксиоми на Д. Хилберт

Аксиоми на свързването:

1. Никоя точка не е права, никоя точка не е равнина, никоя права не е равнина.

2. Релация „лежи” е двучленна релация в множеството на точките, правите и равнините.

3. Ако х „лежи” у, то не е възможно х и у да са едновременно две точки, две прави, две равнини.

4. Ако точка лежи на права, то правата минава през точката, ако точка лежи на равнина, то равнината минава през отсечката.

5. Съществуват поне две различни точки.

6. През две различни точки минава само една права.

7. За всяка права съществуват поне две различни точки, които лежат на нея.

8. За всяка права съществува поне една точка, която не лежи на нея.

9. За всеки три точки, които не лежат на една права, съществува точно една равнина, минаваща през тях.

10. Равнината е непразно множество от точки.

11. За всяка равнина съществува поне една точка, нележаща на нея.

12. Ако две различни точки от дадена права лежат на равнина, то цялата права лежи в равнината.

13. Ако две равнини имат обща точка, то те имат и втора обща точка, различна от първата.

Аксиоми на наредбата:

14. Релацията „между” е тричленна релация в множеството от точките. Означение А / ВС се чете: „Точката А е между точките В и С ” .

15. Ако А / ВС, то точките А, В, С са различни и лежат на една права.

16. Ако А / ВС, то А / СВ .

17. Ако А и В са различни точки, то съществува поне една точка С така, че С / АВ .

18. Ако А, В, С са три различни точки от една права, то А / ВС или В / СА, или С/ АВ.

19. Нека А, В, С са три точки, нележащи на една права и l е права, която не минава през никоя от тях, но лежи в равнината (АВС). Ако l има обща точка с една от отсечките ВС, СА, АВ, то тя има обща точка с поне още една от тях.

Аксиоми на еднаквостта:

20. Релацията „еднаквост на отсечки” е четиричленна релация в множеството от точките.

21. Ако за точките А1, В1, А2, В2 е в сила А1В1 = А2В2, то А1 ≠ В1, А2 ≠ В2 и В1А1 = А2В2 , А1В1 = В2А2.

22 Ако р е лъч с начало т.А и а е отсечка, то съществува т.В върху лъча р така, че а = АВ.

23. Ако а, в и с са отсечки, за които а=c, b=c, то а=b

24. Ако А1В1 = А2В2, В1С1 = В2С2, В1 / А1С1 и В2 / А2С2, то А1С1 = А2С2.

25. Релацията „еднаквост на ъгли” е шестчленна релация в множеството от точките.

26. Ако ъгъл А1В1С1 = ъгъл А2В2С2, то точките А1В1С1 са неколинеарни, точките А2В2С2 също са неколинеарни и ъгъл С1В1А1 = ъгъл А2В2С2, а ъгъл А1В1С1 = ъгъл С2В2А2 .

27. Ако ъгъл А1В1С1 = ъгъл А2В2С2 и точка А1’принадлежи на В1А1; С1’ принадлежи на В1С1, точка А2’ принадлежи на В2А2, точка С2’ принадлежи на В2С2, то ъгъл А1’В1’С1’= ъгъл А2’В2’С2’ .

28. Ако точките А₀В₀С₀ не лежат на една права и точките А, В, Р също не лежат на една права, то в полуравнината £, за която ъгъл А₀В₀С₀ = АВС’ , то точката С’принадлежи на лъча ВС.

29. Ако точките А, В и С не лежат на една права, то ъгъл АВС = ъгъл АВС.

30. Ако ъгъл В1А1С1 = ъгъл В2С2А2, А1В1 = А2В2 и А1С1= А2С2, то ъгъл С1В1А1 = ъгъл С2В2А2.

Аксиоми за непрекъснатостта:

31. Нека А и В са две различни точки и М принадлежи АВ със свойствата:

• М ≠ 0

• АВ \ М ≠ 0, като АВ \ M =ךM

• Ако т.Х принадлежи на М, а т. Y принадлежи на ךM, то Х/ АY

Тогава съществува т. С от АВ, така че всяка точка от АС принадлежи на множеството М, а всяка точка от СВ принадлежи на множеството ךM.

Аксиома за успоредността:

32.През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права успоредна на дадената.

През ХХ век Каган и Биркхов доусъвършенстват аксиоматичния подход. Каган приема за първично понятие и разстоянията между точки. Биркхов освен това добавя и градусната мярка на ъгъл. Херман Вайл ( 1885 – 1955 ) съставя аксиоматика на геометрията на векторна основа.