Метрични зависимости в правоъгълен триъгълник.

[summerlove66]

Зад.1 В правоъгълен триъгълник е вписана полуокръжност така, че диаметърът й лежи върху хипотенузата, а центъра й дели хипотенузата на отсечки 15 и 20 см. Да се намери радиуса на окръжността.

Зад.2 В правоъгълен триъгълник е вписана окръжност. Допирната й точка дели хипотенузата на отсечки 5 см и 12 см. Да се намерят катетите.

Зад.3 Страната на квадрата ABCD е 9см. Върху страните му AB и BC са нанесени отсечките AM=BP=3cm. Да се намерят отсечките, на които се делят DM и AP от пресечната им точка.

Зад.4 Основата на равнобедрен триъгълник е 4\/2, а медианата към бедрото е 5см. Да се намерят лицето и бедрото му.


:)

[cherrygloss]

Хаха днес точно се пробвах да реша 2рата от сборника ми, но не можах. Някой ако знае :(

[Chacho]

1 задача

Нека О е ц-рът и радиусите към АС и ВС пресичат катетите съответно в Е1 и Е2.

Разглеждаме ОЕ2СЕ1 - четириъгълник с 4 прави ъгъла и две съседни равни страни => OE2CE1 - квадрат.

ОЕ1=Е1С=СЕ2=Е2О = r

Нека АЕ1 = х, ВЕ2 = у

АОЕ1 ~ OBE2 (три равни ъгъла). От тук:

x/15 = r/20
x = 3r/4

y/20 = r/15
y = 4r/3

И сега АС^2 + BC^2 = AB^2, където АС = х+r, BC = y+r

(x+r)^2 + (y+r)^2 = 35^2
(3r/4 + 4r/4)^2 + (4r/3 + 3r/3)^2 = 35^2
49r^2/16 + 49r^2/9 = 35^2

r = 420/корен(1855) (може да са ми грешни сметките, но идеята мисля, че е такава)


2 задача

О - ц-р на окр.
радиусите попадат в АС, ВС и АВ съответно в точки M,N,P

MCNO - квадрат (като в първа зад)

Тъй като окръжността е вписана, вярно е, че:

AP = AM = 5
BP=BN = 12

MC = NC = r

AC = r+5, BC = r+12

Отново питагорова в АВС:

(5+r)^2 + (12+r)^2 = 17^2

25+10r+r^2+144+24r+r^2 = 289
2r^2 + 34r - 120 = 0
D=529 = 23^2

r = (-17+23)/2 = 3

AC = 5+3 = 8
BC = 12+3 = 15


3 задача

Нека DMxAP=Q

<MAP = a
<DMA = 90-a

<AQM = 180-a-90+a = 90

AMQ~APB
Нека AQ = y, AM = x

От питагорова в АВР намираме АР = 3.корен(10)

АМ/АР = х/3
3/3.корен(5) = х/3
х = 3/корен(10)

AQ/AB = AM/AP

y/9 = 3/3корен(10)
у = 9/корен(10)


4 задача

АМ - медиана, СН - височина

От МР _|_ AB

С питагорова в АРМ намираме АР = корен(7)

От Талес => MP/CH = BM/BC = 1/2

CH = 2корен(7)

S = 4.корен(14)

Питагорова в ВМР => BM = 3, BC = 6

[summerlove66]

Мерси за отговорите, май съм забравила да благодаря :)
Имам още няколко, ако ви се занимава *blush*

Зад.1 С център върха С на равнобедрен триъгълник АВС е построена дъга, която се допира до основата АВ и пресича АС и ВС в точките D и Р. Да се намери периметърът на триъгълник АВС, ако DP= 24см и е отдалечена от АВ на 4см.
Отг.: 80см



Зад.2 Да се намери по-малкият диагонал на успоредник, на който по-малката страна и по-малката височина са съответно 17 и 15 см, а разликата на по-големия диагонал и по-малката страна е 11см.
Отг.: 25см.

Зад.3 Две окръжности k1(A;R) и k2(B,r) - се допират външно. Централата им АВ пресича k2 в т.К, а през К е построена допирателна t на k2. Да се намери радиусът на трета окръжност, която се допира външно до k1 и k2 и до t.
Oтг.: r/R(R+r)