Проблема със спящата красавица в теория на вероятностите

[StringTheoryPracticist]

Sleeping Beauty volunteers to undergo the following experiment and is told all of the following details: On Sunday she will be put to sleep. Once or twice, during the experiment, Beauty will be wakened, interviewed, and put back to sleep with an amnesia-inducing drug that makes her forget that awakening. A fair coin will be tossed to determine which experimental procedure to undertake: if the coin comes up heads, Beauty will be wakened and interviewed on Monday only. If the coin comes up tails, she will be wakened and interviewed on Monday and Tuesday. In either case, she will be wakened on Wednesday without interview and the experiment ends.

Any time Sleeping Beauty is wakened and interviewed, she is asked, "What is your belief now for the proposition that the coin landed heads?"
http://en.wikipedia.org/wiki/Sleeping_Beauty_problem

Или на български:

Спящата красавица се съгласява да участва в следния експеримент и знае следните детайли: неделя ще я приспат. Един или два пъти по време на експеримента ще бъде събудена, интервюирана, и приспана отново с хапче от което ще забрави, че е била събуждана. Нормална монета ще бъде хвърлена за да се прецени кое от двете да се случи:

- Ако се падне лице, Красавицата ще бъде събудена и интервюирана в понеделник единствено;
- Ако се падне в гръб, ще бъде събудена и интервюирана в понеделник и във вторник.

И в двата случая ще бъде събудена сряда и експеримента ще приключи.

Когато спящата красавица е събудена и интервюирана ѝ се задава въпроса: "С каква вероятност вярваш, че монетата се е паднала лице?". (с други думи, "каква е вероятността да се е паднало лице")

[LadyDi]

Кой от тук очакваш да ти разреши проблема?

[Smrazqvashta]

Чел ли си това?

Defending the halfer solution to the Sleeping Beauty problem by demonstrating the importance of taking into account the causal history of how an event is realized
Sleeping Beauty volunteers to undergo the following experiment and is told all of the following details: On Sunday she will be put to sleep. Once or twice, during the experiment, Beauty will be wakened, interviewed, and put back to sleep with an amnesia-inducing drug that makes her forget that awakening. A fair coin will be tossed after Sleeping Beauty was put to sleep to determine which experimental procedure to undertake: if the coin comes up heads, Beauty will be wakened and interviewed on Monday only. If the coin comes up tails, she will be wakened and interviewed on Monday and Tuesday. In either case, she will be wakened on Wednesday without interview and the experiment ends. Any time Sleeping Beauty is wakened and interviewed, she is asked, "What is your belief now for the proposition that the coin landed heads?"
To what degree ought Sleeping Beauty believe that the coin landed heads whenever she is wakened? There is still disagreement as to whether the correct answer is 1/3 (the thirder position, see, for example, Elga, 2000, and Dorr, 2002) or 1/2 (the halfer position, see, for example, Lewis, 2001).
We will first shortly present two thirder arguments proposed by Elga (2000). We aim to show that both arguments are not sound. The second argument for the thirder position is based on long-run average outcomes, and in the course of identifying the flaw in this argument it will hopefully become apparent why the halfer position is true.
1. First argument for the thirder position
When Sleeping Beauty is wakened up she is certain that she is in one of three ‘predicaments’:
H1: Heads and it is Monday.
T1: Tails and it is Monday.
T2: Tails and it is Tuesday
Elga (2000) argued for the thirder position originally by trying to first show that P(T1)=P(T2), and then that P(H1)=P(T1). Suppose Sleeping Beauty is told and she comes to fully believe that the coin landed tails. In this case her credence that it is Monday should equal her credence that it is Tuesday since being in one situation would be subjectively indistinguishable from the other. In other ‘words’,
P(Monday|Tails) = P(Tuesday|Tails) and, therefore, P(T1)=P(T2)=1/2.
Elga then points out that the researchers’ task of using a fair coin to determine whether to awaken Sleeping Beauty once or twice can be accomplished by either
(1) first tossing the coin and then waking Sleeping Beauty up either once (Monday) or twice (Monday and Tuesday) depending on the outcome; or
(2) first waking Sleeping Beauty up once (Monday), and then tossing the coin to determine whether to wake Sleeping Beauty up a second time (Tuesday).
Let us assume that Sleeping Beauty knows whether (1) or (2) was applied, and it is (2). Consider now that Sleeping Beauty is told upon awakening and comes to fully believe that it is Monday. Guided by the objective chance of heads landing being equal to the chance of tails landing, Sleeping Beauty should therefore believe that P(Tails|Monday) = P(Heads|Monday). Combining results leads to P(H1)=P(T1)=P(T2), and since these credences sum to 1,
P(H1) = 1/3.
2. Rejection of the first thirder argument
What is wrong with the first thirder argument that eventually claims that P(H1)=P(T1)=P(T2) and, therefore, P(H1) = 1/3? We agree with Elga that given the coin landed Tails, the probability of the current day being Monday or Tuesday is the same, namely 1/2. We also agree with the claim that given Monday and the coin has not been tossed yet, the probability of the coin landing Heads or Tails is the same, namely 1/2. However, we disagree with his combining these results to P(H1)=P(T1)=P(T2). The results he combines differ in what was given to arrive at them. For the first result (P(T1)=P(T2)) it was given that the coin has landed Tails. Given that the coin has landed Tails it cannot not be true that P(H1)=P(T1), but this is exactly what Elga claims to be the case if it is given that it is Monday. Furthermore, given that it is Monday it cannot be true that P(T1)=P(T2), but this is exactly what Elga claims to be the case if it is given that the coin landed Tails. Therefore, the two results that were arrived at by assuming different background conditions (given that it is Monday vs. given that the coin landed Tails) cannot simply be combined in the way Elga did.
3. Second argument for the thirder position
Another argument for the thirder position is based on long-run average outcomes (also first proposed by Elga). Suppose this experiment were repeated 1,000 times. It is expected that there would be 500 Heads and 500 Tails. So Beauty would be awoken 500 times after Heads on Monday, 500 times after Tails on Monday, and 500 times after Tails on Tuesday. In other words, only in one-third of the cases would Heads precede her awakening. This long-run expectation should give the same expectations for the one trial, so P(Heads) = 1/3.
4. Rejection of the second thirder argument and defence of the halfer solution
What is wrong with the second thirder argument that is based on long-run average outcomes? To avoid confusions, let us assume that the coin was tossed on Sunday after Sleeping Beauty was put to sleep and she knows this. Assuming that the experiment was repeated 1,000 times, would it not be true that out of (expected) 1,500 awakenings the coin landed Heads in only (expected) 500 times, which is 1/3? This line of reasoning is fine but it does not follow that the degree to which Sleeping Beauty ought to believe that the coin landed Heads is 1/3. The answer 1/3 would only be true if each of the 1500 awakenings would be equally likely. However, this assumption neglects the causal history of how each awakening is realized (cf. The Monty Hall problem, vos Savant, 1990, and the Girl or Boy paradox, Gardner, 1987, for examples of how neglecting the causal history of available options and given information, respectively, can lead to an wrong answer). For each time the coin landed Tails two awakenings (one Monday and Tuesday) follow, while for each time the coin landed Heads only one awakening follows. Therefore, the 1000 awakenings ‘caused’ by the 500 times the coin landed Tails are together as likely as the 500 awakenings ‘caused” by the 500 times the coin landed Heads. In order to make this point more plausible let us frame the question in a different but logically equivalent way: Given Sleeping Beauty is awakened how likely is it that this awakening is the only one? If the question is framed in this way it becomes more apparent that you have to take into account the causal mechanism that decides whether you are awakened only once or twice. In other words, supporters of the thirder position make the mistake of neglecting that given Tails, the probability of which is 1/2, there are two equally likely possibilities for which day is now, shortly after Sleeping Beauty was awakened, each possibility having a probability of 1/4. In contrast to this, if the coin landed Heads it is for sure that it is now, shortly after Sleeping Beauty was awakened, Monday. Hence, the probability for H1 is 1/2, while it is 1/4 for T1 and also 1/4 for T2.
The lesson to be learned from the Sleeping Beauty problem (and the Monty Hall problem as well as the boy or girl paradox) is to take into account of how an event, in the case of Sleeping Beauty the awakening, is causally realized).

[Тромбоцит]

Обърни се към БХК.

[anonymous908491]

Ако я боли и дупето, ще предположи, че е будена два пъти.

[tori]

к

[StringTheoryPracticist]

Кой от тук очакваш да ти разреши проблема?
Всъщност ти :Д

Много е лесно да се достигне до отговор който изглежда правилен; по-трудно е да се стигне именно до правилния отговор. Затова очаквам доста отговори и ми беше интересно кои ще отговорят правилно.

Смразяваща: Не, а ти?

(Не съди по отговорите там - учените не са на едно мнение относно това кой е правилния отговор :D)

[Smrazqvashta]

Аз му бях отделила време наскоро да го обмислям.

[LadyDi]

Всъщност ти :Д

Много е лесно да се достигне до отговор който изглежда правилен; по-трудно е да се стигне именно до правилния отговор. Затова очаквам доста отговори и ми беше интересно кои ще отговорят правилно.
Ти си стигнал до правилния отговор ли?

[anonymous908491]

Ти си стигнал до правилния отговор ли?

Познай за какво си мисля, има правилен и грешен отговор, същата работа е и това.

[Ewok]

ей вели

[anonymous908491]

Всъщност ти :Д

Много е лесно да се достигне до отговор който изглежда правилен; по-трудно е да се стигне именно до правилния отговор. Затова очаквам доста отговори и ми беше интересно кои ще отговорят правилно.


Няма много, а един. С монета не можеш да я събудиш, дори върху лицето и да има изображение на принц.

[StringTheoryPracticist]

Ти си стигнал до правилния отговор ли?
Много хора си мислят че са стигнали до правилния отговор, просто не могат да убедят останалите :Д

Аз му бях отделила време наскоро да го обмислям.
аха и какво реши

ей вели
kekekeke

[LadyDi]

Познай за какво си мисля, има правилен и грешен отговор, същата работа е и това.

Не знам. Принципно избягвам да си губя времето с такива задачи. Теория на вероятностите не ми е силна страна, някак ми се губи смисъла да пилея време за това.

[StringTheoryPracticist]

Не знам. Принципно избягвам да си губя времето с такива задачи. Теория на вероятностите не ми е силна страна, някак ми се губи смисъла да пилея време за това.
Има приложения и плащат много. Или лични приложения които водят до по-ефективно взимане на решения.

Познай за какво си мисля, има правилен и грешен отговор, същата работа е и това.
в темата няма "победител", само ми е интересно как мислят хората - следва да репликирам дебата между halvers (такива които мислят че вероятността е 1/2) и thirders (че е 1/3) :D

пък все тая от кои от двете съм аз


(всъщност отговора на тая конкретна задача не е особено приложим :Д освен че води до интересни идеи)

[an7raks]

1/3 трябва да е отговора или приблизително 33%...

[LadyDi]

Има приложения и плащат много. Или лични приложения които водят до по-ефективно взимане на решения.
Ако ми носи по-ефективно вземане на решения, ще мисля. Когато не виждам приложение, какъв е смисъла.

//аз съм thirder

[an7raks]

Реално погледнато, шансът монетата да падне с лице е 1/2 или 50%, но тоя тип задачи не търсят тоя тип отговори... :D
Има три възможни варианта:
1. Паднало се е лице и е понеделник.
2. Паднало се е гръб и е понеделник.
3. Паднало се е гръб и е вторник.
От това следва, че шансът да се падне вариант 1 е 1/3...

[LadyDi]

Реално погледнато, шансът монетата да падне с лице е 1/2 или 50%, но тоя тип задачи не търсят тоя тип отговори... :D
Има три възможни варианта:
1. Паднало се е лице и е понеделник.
2. Паднало се е гръб и е понеделник.
3. Паднало се е гръб и е вторник.
От това следва, че шансът да се падне вариант 1 е 1/3...

E да де, ама ние не търсим дали се е паднал вариант 1. А дали се е паднало лице ;)

[an7raks]

По принцип, да, за това казах и, че шансът е 50%, но авторите на такива задачи си вадят някакви странни логики, за да изкарат още по-странни отговори...

[StringTheoryPracticist]

Най-после се говори по темата. Сега остава и да се сбиете и ще съм доволен от живота си :D

Ще играя адвокат на... нз дали дявола или не, но ще обясня една от страните за да ви объркам :Д иначе не знам дали ми се заема страна.

"Шанса за монетата е 50/50. Откакто е хвърлена монетата, Красавицата е знаела, че ще бъде събудена. Когато я събудят, нищо ново не се променя - не получава нова информация - следователно трябва още да е 50/50."

Ако ми носи по-ефективно вземане на решения, ще мисля. Когато не виждам приложение, какъв е смисъла.
аха, по-конкретно това е anthropics подход към теория на вероятностите, тоест взимаш предвид факта, че в момента наблюдаваш нещата и правиш презумпцията, че ти си напълно случайно избран наблюдател от всички съществуващи. От това например можеш да изходиш, че си случайно избран човек от всичките, които ще съществуват някога - в такъв случай е най-вероятно да си г/д към средата по поредност (т.е. ще съществуват още толкова горе-долу); има още много други, ама всички са контраинтуитивни и дълги, а ме мързи да обяснявам :(

[LadyDi]

"Шанса за монетата е 50/50. Откакто е хвърлена монетата, Красавицата е знаела, че ще бъде събудена. Когато я събудят, нищо ново не се променя - не получава нова информация - следователно трябва още да е 50/50."
О, но тя има нова информация :) Денят не е същият. Т.е., въпреки условието на задачата, Красавицата трябва да се замисли дали е понеделник или вторник. Което ще я отдалечи от 50/50. Ако изобщо може да мисли сънена.
И друго. Ти не знаеш дали Красавицата знае, че монетата е била хвърлена...

[an7raks]

Когато спящата красавица е събудена и интервюирана ѝ се задава въпроса: "С каква вероятност вярваш, че монетата се е паднала лице?". (с други думи, "каква е вероятността да се е паднало лице")
Ето тук е заблудата, която, дори, я няма в оригиналното условие... Питат я ТЯ в какво вярва... Следователно трябва да гледаме от нейната гледна точка, а не от позицията на страничен наблюдател.

[StringTheoryPracticist]

О, но тя има нова информация :) Денят не е същият. Т.е., въпреки условието на задачата, Красавицата трябва да се замисли дали е понеделник или вторник. Което ще я отдалечи от 50/50. Ако изобщо може да мисли сънена.
И друго. Ти не знаеш дали Красавицата знае, че монетата е била хвърлена...

Тя знае условието на задачата и знае, че монетата ще бъде хвърлена. Когато се събуди, по условие нищо не издава деня и предварително може да предвиди как ще изглеждат нещата като се събуди.

Ето тук е заблудата, която, дори, я няма в оригиналното условие... Питат я ТЯ в какво вярва... Следователно трябва да гледаме от нейната гледна точка, а не от позицията на страничен наблюдател.

Целта на задачата не е да заблуди; питаме наблюдател, който не знае в кой от възможните сценарии е събуден.

[an7raks]

Както казах, само по себе си, събитието "хвърляне на монета" има два възможни изхода => шансът да се падне единият е точно 50% и останалата част от задачата не променя нищо...

[StringTheoryPracticist]

Ето ви още един цитат, за още повече заблуда ^^

"""
Вероятността за нещо не се определя единствено по това което знаеш; има значение и перспективата ти. Веднага след като хвърлят монетата и преди да я приспят, наистина е 50/50 за нея, но след като я събудят, тя е случайно избрана перспектива от няколко възможни:

Лице -> понеделник
Гръб -> понеделник
Гръб -> вторник

Имаш по 50% вероятност да изживееш всяка перспектива, от трите. Тоест имаш три равни вероятности, тоест е еднакво вероятно да си която и да е от трите. Това е 1/3 за лице->понеделник и 2/3 за гръб->(понеделник или вторник).
"""

[an7raks]

Сега се сетих и за друга теория...
Когато я будят, шансът денят да е понеделник е 50%, ако е понеделник, шансът монетата да е била с лице е 50% от тези 50%, което ще рече 25%...