Математика

[Chacho]

@krisence


1зад
От средното аритметично съставяме уравнението:
3+16^(2x-x²-2) = 2.a.4^(2x-x²-2)
След полагането:
4^(2x-x²-2)=p>0
Получаваме параметричното квадратно уравнение и условието "за кои а уравнението има реални корени", тоест средното аритметично да е изпълнено, а оттам - 3-те числа да образуват аритметична прогресия:
3+p²=2ap
p²-2ap+3=0
D=a²-3
Искаме D>=0
a²-3>=0
a E (-безкр;-√3] U [√3;+безкр)
p1,2=(a±√(a²-3))/2
p>0 за всяко а. Интервалите за а остават като отговори.


2зад
a)
Разглеждаме границата на сумата на геометричната прогресия при n клонящо към +безкр, което е всъщност крайната сума барели, която можем да получим при безкрайно много работа.
limn->+безкр(S) = 250000/(1-(1-5/100)) = 250000/(5/100) = 250000.20=5000000
б)
Намираме n от формулата за сума на геом. прогресия
S=250000.(1-(1-5/100)^n)/(1-(1-5/100) = 2 000 000
(1-(19/20)^n)/(1/20) = 2 000 000 / 250 000
1-(19/20)^n = 8/20
(19/20)^n=1-8/20
(19/20)^n=12/20
n=log19/20(12/20)=log0,95(0,6)

Това е приблизително, но малко по-малко от 10. Може с калкулатор да се провери, може и да умножаваш 0,95 . 0,95 . 0,95.... и гледаш на кой път ще прехвърли 0,6. Случва се на 10-ят път. Този метод е удобен в случая, тъй като със сигурност имаме под 20 умножения (при 20-тото, (1-5/100)^20=e^-1<0.5, което заместено във формулата за геом. прогресия ни дава доста по-голямо число от 2 000 000 (към 2 500 000 май).

Краен отговор, според мен: 9 месеца и нещо, почти 10.


3 задача

Тук "уловката" е, да видиш кое образува геометрична прогресия и колко всъщност е пътя. Прогресията се образува от разстоянията от земята до върховата точка на топката. Пътят пък е сума на тези, умножени по 2 (защото отскача нагоре, а след това пада надолу) + първоначалните 40см (тук само пада надолу, няма път нагоре). Сега ще преработим всичко в удобен за пресмятане вид и ще го пресметнем:

Път=40+2.(40.2/5)+2.(40.2/5.2/5)+ = 40+2(40.2/5)+(40.2/5.2/5)+... = 2(40+40.2/5+40.2/5.2/5+..) - 40

a1=40
q=2/5

limn->+безкр(Sгеом.прог.)=40.(1-(2/5)^n)/(1-2/5)=40/(3/5)=200/3

Път=2.Sгеом.прог - 40 = 2.2.200/3 - 40 = 400 - 120/3 = 280/3 см = 93,(3) см