1з.

Разглеждаме разликата на сумите S4 и S3. Разписани подробно, те формират разликата:

a1+a2+a3+a4-a1-a2-a3 = a4

Но четвъртият член е търсеното число b, тоест го намираме като извадим S3 от S4.

b=S4-S3 = 2^4-1 - 2^3+1 = 16-8=8

Сега се връщаме към уравнението:

x³+ax²+8x=0
x(x²+ax+8 )=0

x1=0

Очевидно х1 е първият член на аритметичната прогресия, тъй като членовете и са неотрицателни и прогресията е растяща. Нека намерим и другите два корена чрез дискриминантата:

D=a²-4.8 = a²-32 (Разбира се, дискриминантата трябва да е >0, за да съществуват двата корена => а²>32 или a<-2√2 U а>2√2.)

x2=(-a-√(a²-32)) / 2
x3=(-a+√(a²-32)) / 2

Очевидно второто число е по-голямо, тъй като коренът е неотрицателен по дефиниция. х2 е вторият член, х3 е третият.

От средно аритметично за трите корена имаме:

x1+x3=2.x2

(-a+√(a²-32))/2 = -a-√(a²-32)

-a+√(a²-32) + 2a + 2√(a²-32) = 0
a + 3√(a²-32) = 0
√(a²-32)=-a/3

Оттук a<=0 => a<-2√2

Повдигаме на втора степен двете страни на уравнението:

a²-32 = a²/9
9a²-32.9 = a²
8a²=32.9
a²=4.9=36
a=±6, от което само а=-6 е решение.

x3=(6+√(36-32))/2 = (6+4)/2 = 5
x2=(6-√(36-32))/2 = (6-4)/2 = 1



На втора задача не разбирам условието.