Математика

[plmnb]

1. В триъгълник АБС точките M, N и Р са средите съответно на страните АВ, ВС, СА. Сборът от периметрите на триъгълниците АМР, МВN, NCP и МNP е 24см. Периметърът на триъгълника АВС е...?

2. Даден е триъгълник АВС. Точките М, Р и U лежат върху страната АС и АМ = МР = PU = UC. Правите през М, Р и U, успоредни на АВ, пресичат страната ВС съответно в точки N, Q и V. Намерете MN, PQ и UV, ако АВ=а.
Отг. 3/4а, 1/2а, 1/4а

3. Точките М и N лежат съответно върху страните AD и BC на успоредника АВСD и са такива, че MN е успоредна на АВ. Нека Р = АN пресечена от BM и Q = CM пресечена от DN. Докажете, че PQ е успоредна на AD и PQ = 0.5 AD.

4. В триъгълника АВС ъгъл САВ = 30 градуса, ъгъл АСВ= 90 градуса, М е медицентърът на триъгълника, а Р - пресечната точка на ъглополовящата през върха В с медианата СС1. Намерете МР, ако АВ=12см

5. В трапеца АВСD (АВ е успоредна на CD) ъгъл DAB=90градуса, ъгъл АВС=ъгъл ВСА= 60градуса , средната основа е 3см. Намерете основите на трапеца.

6. В трапеца АВСD (АВ е успоредна на CD) ъгъл DAB=90градуса , ъгъл ABC=60градуса , a диагоналът АС разполовява ъгъл ВСD. Докажете, че ако М е средата на ВС, то триъгълникът АМD е равностранен.

7. В трапеца АВСD (АВ е успоредна на CD) точките М и Р лежат върху бедрото АD и АМ=МР=РD. Правите през М и Р, са успоредни на АВ, пресичат бедрото ВС съответно в точки N и Q. Намерете MN и PQ, ако AB=a и CD=b
Упътване: През върха D постройте права, успоредна на ВС

8. Даден е трапец АВСD (АВ е успоредна на CD). Точката М дели бедрото AD в отношение 1:2, считано от А. Правата през М, успоредна на АВ, пресича диагоналите АС и BD в точки Р и Q. Намерете РQ, aко АВ=а и CD=b (a>b)

9. Даден е трапец ABCD (АВ е успоредна на CD). Точката М дели бедрото AD в отношение 2:1 считано от А. Правата m през М, успоредна на АВ, пресича диагоналите АС и BD в точки Р и Q.
a) Намерете PQ, ако AB=а и СD=b (a>b)
б) При какви условия за а и b правата m минава през пресечната точка на диагоналите?

10. Даден е успоредник АВСD. Точката N е средата на CD, а М е пресечната точка на АС и BN. Намерете в какво отношение точка М дели диагонала АС, считано от върха А.
Отг.2:1 Упътване: Докажете, че М е медицентътът на труъгълник ВСD

11. В триъгълник ABC точка Р е средата на медианата СМ. Правата АР пресича ВС в точка Q. Намерете в какво отношение Q дели BC, считано от върха В.
Oтг.2:1 Упътване: Постройте през М права, успоредна на АР

12. Върху страните АВ, ВС и СА на равностранен триъгълник АВС са дадени точки Р, Q и R такива, че АР:РВ=BQ:QC=CR:RA=1:2 http://media.snimka.bg/9841/025937372.jpg Докажете, че:
а) триъгълникът PQR е равностранен
б) медицентровете на триъгълник АВС и триъгълник PQR съвпадат.

13. В триъгълника АВС точката М е средата на страната АВ, а Р и Q делят ВС на три равни части. Докажете, че ако ъгъл РМQ=90градуса , то ВС=3АС.
Упътване: В триъгълник РМQ постройте медианата през върха М. Докажете, че тя е средна отсечка в триъгилник АВС.


Задачките са от 8ми клас.
Благодаря много на отзовалите се

[Chacho]

@nikip1000

За кои стойности на реалния параметър k, уравненията имат корени с различни знаци?

6 задача

х²+7x+2k²+3

|D>0
|c/a<0

Решаваме първо D>0, после c/a (този ред ще го пропускам в 7 и 8 задача)

D=49-4(2k+3)

49-4(2k+3)>0
49-8k+12>0
37>8k
k<37/8

c/a=2k+3
2k+3<0
k<-3/2

-3/2<37/8

Отговор: k<-3/2


7 задача

5x²+11x+2(k+8 )=0

|D>0
|c/a<0

D=121-40(k+8 )=121-320-40k=-199-40k

D>0 <=> -199-40k>0 k<-199/40

c/a=2(k+8 )/5

2(k+8 )/5<0
k+8<0
k<-8

-8<-199/40

Отговор: k<-8


8 задача

x²-6x-5(k+2)=0

|D>0
|c/a<0

|36+20k+40>0
|-5k-10<0

|20k>-76
|5k>-10

|k>-19/5
|k>-2

-2>-19/5

Отговор: k>-2


9задача

За кои стойности на реалния параметър k, единият корен на уравнението

x²+54x+5k²=0

е 5 пъти по-малък от другия?


D=27²-5k²=729-5k²

729-5k²>0
5k²<729
k²<729/5
-√(729/5)<k<√(729/5)

x1=-27-√(729-5k²)
x2=-27+√(729-5k²)

За да е изпълнено условието на задачата, поставяме ограничението √(729-5k²)<27 => k>0

Очевидно х1<х2 и понеже и двата корена са отрицателни, то: х1=5.х2

-27-√(729-5k²)=5(-27+√(729-5k²))
4.27=6√(729-5k²)
18=√(729-5k²)
324=729-5k²
5k²=405
k²=81
k=±9


10 задача

За кои стойности на реалния параметър k, единият корен на уравнението

x²-15x+k²-10

е с 3 по-голям от другия?


D>0

225-4(k²-10)>0
225-4k²+40>0
4k²<265
k²<265/4
-√(265/4)<k<√(265/4)

x1=[15+√(265-4k²)] / 2
x2=[15-√(265-4k²)] / 2

Този път х1>х2, затова х1=х2+3

[15+√(265-4k²)] / 2 = [15-√(265-4k²)] / 2 + 3

15+√(265-4k²) = 21-√(265-4k²)
6=2√(265-4k²)
9=265-4k²
4k²=265-9
4k²=256
k²=64
k=±8

[Chacho]

@plmnb Мързи ме да правя чертежи.

1 задача

Разглеждаме периметърът на триъгълник АМР:

Раmр=АМ+МР+АР

АМ=АВ/2
АР=АС/2
МР=ВС/2 (МР е средна отсечка)

Раmр=(АВ+АС+ВС)/2=Раbc/2

Аналогично получаваме Рbnm=Pabc/2, Pcnp=Pabc/2

Pamp+Pbnm+Pcnp=3Pabc/2
3Pabc/2 = 24
Pabc = 24.2/3=16cm



2 задача

4-те точки делят АС на 4 равни отсечки. Тоест: АМ=МР=PU=UC=AC/4

AP=UC=AM+MP=PU+UC=AC/2, значи Р е среда на АС.

РQ || AB и Р е среда => PQ е средна отсечка в АВС.

РQ=a/2

Аналогично, UV - средна отсечка в CPQ => UV=PQ/2 = a/2/2 = a/4

MN пък е средна отсечка в трапеца ABQP => MN=(AB+PQ)/2 = (a+a/2)/2 = 3a/4



3 задача

AP=AN/2
DQ=DN/2

Оттук получаваме, че PQ е средна отсечка в триъгълник AND, а това ни дава: PQ||AD и PQ=0,5AD



4 задача

AC1=BC1=CC1=BC=6cm (от СС1 медиана и <А=30градуса)

СМ=2МС1
СМ=2х
МС1=х

3х=6
х=2

СМ=4см
С1М=2см

Получихме, че С1ВС е равнобедрен (С1В=СВ), а ВР е ъглополовяща към основата => ВР е и медиана => СР=СС1/2=3см

МР=СМ-СР=4-3=1см



5 задача

<САВ=180-<АСВ-<АВС
<САВ=180-60-60
<САВ=60

Триъгълник САВ е равностранен, демек: АС=АВ=СВ


<DAC=<DAB-<CAB=90-60=30
Разглеждаме правоъгълният триъгълник DAC с <DАC=30градуса

DC=AC/2

DC=AB/2

Нека АВ=а, DC=a/2

(AB+DC)/2=3
3a/4=3
a=4cm
АВ=4cm
DC=2cm


6 задача

<BCD=180-<ABC=180-60=120

<ACB=<DCB/2=120/2=60

От миналата задача имаме, че АВС е равностранен, <DAC=30 и DC=AB/2

AB=CB=>DC=BC/2
CM=BC/2

Тоест: DC=CM => <CDA=<DCM
2<CDA=180-120
<CDA=60/2
<CDA=30

<ADM=<ADC-<CDA=90-30=60

<AMD=180-<DAM-<ADM=180-60-60=60

Получихме, че ADM е равностранен.



7 задача

Нека DD1||BC

DD1xMN=M1
DD1xPQ=P1
DD1xAB=A1

Разглеждаме триъгълникът ММ1D:

DP=AD/3, DM=2AD/3 => DP=DM/2 => P е среда на DM, a РР1 е средна отсечка в РММ1. Тоест:

2РР1=ММ1

ММ1 обаче пък е средна отсечка в трапеца АA1P1P

MM1=(PP1+AA1)/2

AA1=AB-A1B=a-b (A1B=b, понеже A1BCD e успоредник)

4PP1=PP1+AA1
3PP1=AA1
PP1=(a-b)/3

MM1=2(a-b)/3


DM1NC и DP1QC са успоредници => DC=M1N=P1Q=b

MN=MM1+M1N=(2a-2b+3b)/2 = (2a+b)/2
PQ=PP1+P1Q=(a-b+3b)/2=(a+2b)/2



8 задача

Нека ММ1||AB, M1 принадлежи на BC. Нека ВDxAC=O

Нека точка N e такава, че АМ=МN=ND. MP e средна отсечка в триъгълника, NN1 в трапеца (като предишните задачи), тоест: MP=DC/3=b/3.

Аналогично от триъгълник DAB излиза, че MQ=2a/3

PQ=MQ-MP=2a/3-b/3 = (2a-b)/3




9 задача

а)
Разсъжденията са същите, като в предишната задача (като разменим точката М с N, както и M1 с N1), и ще имаме:

МР=2b/3
MQ=a/3
PQ=(a-2b)/3

б)

За да минава през пресечната точка на диагоналите, трябва Р и Q да съвпадат. Това означава, че РQ=0.

(a-2b)/3=0
a-2b=0
b=a/2



10 задача

Построяваме DP, Р-среда на АВ. Нека DPxAC=Q

Триъгълниците АDP и BNC са еднакви по 1-ви признак:
1.АР=NC=AB/2
2.AD=BC
3.<PAD=<NBC

Получаваме, че <АРD=<BNС

<BND=180-<BNC
<NBP=180-180+<BNC=<BNC
<DPB=180-<APD=180-<BNC

<DPB+<PBN=180-<BNC+<BNC=180

Получихме, че <DPB+<PBN=180, т.е., че са прилежащи => DP||BN

Oт това пък следва, че <QAP=<MCN, както и <AQP=<AMB=<NMC

Сега доказваме, че триъгълниците АРQ и MNC са еднакви по втори признак:
1.АР=NC
2.<QAP=<MCN
3.<AQP=<NMC

От тази еднаквост извеждаме равенството:

AQ=MC

P e среда на АВ, а РQ||BM => PQ е средна отсечка => Q e среда на АМ => АQ=QM=MC.

M дели АС в отношение 2:1 считано от А.




11 задача

Нека ММ1 || PQ, M1 принадлежи на ВС.

Разглеждаме триъгълника АВQ:

М среда на АВ, ММ1 || AQ => MM1 е средна отсечка => BM1=M1Q

Разглеждаме триъгълника СММ1:

Р среда на СМ, РQ||MM1 => PQ e средна отсечка => CQ=M1Q

CQ=M1Q=BM1 => Q дели ВС в отношение 2:1 считано от върха В




12 задача

а)

Нека АВ=х. Тогава АР=ВQ=CR=x/3 и PB=QC=AR=2x/3

Взимаме средите на АР и АR съответно М и N. AM=AP=x/6, AN=NR=x/3

Нека изберем точка С1 такава, че АМ=МР=РС1=х/6. Построяваме през точка С1 права С1С' || PR. (C' принадлежи на АС)

Така получената фигура МС1С'N се получава трапец, а PR e средна основа в него. Но това означава, че NR=RC'=x/3, но и RC=x/3. Тоест С' съвпада с С => PR||CC1 => <APR=90градуса.

АР=AR/2 => <ARP=30градуса.

<CRQ=90 (аналогично на ъгъл APR или чрез еднаквостта на APR с CRQ)

PRQ=180-90-30=60

Аналогично <RPQ=<PQR=60 => PQR е равностранен


б)
Означаваме медицентърът на PQR с G, a пресечната точка на QN и RP с H.

От правоъгълниците NPHM и PC1GH получаваме NH=HG=GQ/2

Тоест средата на QN е медицентърa G.

Нека Р1 е пресечната точка на правата РG с BC. Съвсем аналогично излиза, че G е център на PP1.

Тъй като NQ||AB и PP1||AC => NQC и PBP1 са равнобедрени, а СС1 и ВВ1 минават през средите на NQ и РР1, тоест минават през G.

Така излиза, че G e медицентър и на АВС, с което задачата е доказана.




13 задача

Нека ММ1 е медианата в MQP и нека BP=QP=CQ=x, тоест ВС=3х.

Тогава QM1=M1P=x/2
CM1=CQ+QM1=x+x/2=3x/2
M1B=M1P+PB=x+x/2=3x/2

CM1=M1B=BC/2

MM1-средна отсечка в АВС => ММ1=АС/2

ММ1=QM1=М1Р=x/2

x/2=AC/2

x=AC

BC=3x => 3AC=BC

[plmnb]

Благодаря ти страшно много. На първа задача отговорът в учебика е 12кв.см, на 7задача е MN = (2a+b)/3 и PQ = (a+2b)/3