@nikip1000

За кои стойности на реалния параметър k, уравненията имат корени с различни знаци?

6 задача

х²+7x+2k²+3

|D>0
|c/a<0

Решаваме първо D>0, после c/a (този ред ще го пропускам в 7 и 8 задача)

D=49-4(2k+3)

49-4(2k+3)>0
49-8k+12>0
37>8k
k<37/8

c/a=2k+3
2k+3<0
k<-3/2

-3/2<37/8

Отговор: k<-3/2


7 задача

5x²+11x+2(k+8 )=0

|D>0
|c/a<0

D=121-40(k+8 )=121-320-40k=-199-40k

D>0 <=> -199-40k>0 k<-199/40

c/a=2(k+8 )/5

2(k+8 )/5<0
k+8<0
k<-8

-8<-199/40

Отговор: k<-8


8 задача

x²-6x-5(k+2)=0

|D>0
|c/a<0

|36+20k+40>0
|-5k-10<0

|20k>-76
|5k>-10

|k>-19/5
|k>-2

-2>-19/5

Отговор: k>-2


9задача

За кои стойности на реалния параметър k, единият корен на уравнението

x²+54x+5k²=0

е 5 пъти по-малък от другия?


D=27²-5k²=729-5k²

729-5k²>0
5k²<729
k²<729/5
-√(729/5)<k<√(729/5)

x1=-27-√(729-5k²)
x2=-27+√(729-5k²)

За да е изпълнено условието на задачата, поставяме ограничението √(729-5k²)<27 => k>0

Очевидно х1<х2 и понеже и двата корена са отрицателни, то: х1=5.х2

-27-√(729-5k²)=5(-27+√(729-5k²))
4.27=6√(729-5k²)
18=√(729-5k²)
324=729-5k²
5k²=405
k²=81
k=±9


10 задача

За кои стойности на реалния параметър k, единият корен на уравнението

x²-15x+k²-10

е с 3 по-голям от другия?


D>0

225-4(k²-10)>0
225-4k²+40>0
4k²<265
k²<265/4
-√(265/4)<k<√(265/4)

x1=[15+√(265-4k²)] / 2
x2=[15-√(265-4k²)] / 2

Този път х1>х2, затова х1=х2+3

[15+√(265-4k²)] / 2 = [15-√(265-4k²)] / 2 + 3

15+√(265-4k²) = 21-√(265-4k²)
6=2√(265-4k²)
9=265-4k²
4k²=265-9
4k²=256
k²=64
k=±8