Математика-малко помощ

[vargeorg]

Трябва ми малко помощ за следната задача:

Върху всяка медиана на даден триъгълник е взета точка, деляща съответната медиана в
отношение 1:3 считано от върха на триъгълника, от който медианата излиза. Колко пъти лицето на
триъгълника с върхове построените точки е по-малко от лицето на дадения триъгълник.

В отговора пише:

∆ ABM ~ ∆ PQM – І признак

1. ъгъл М общ - това добре
2. АМ/ РМ =8/5
3. BM/ QM = 8/5
отговора после е
лицето на АВМ към PQM = (8/5) ^2=2,56

Не мога да разбера от къде идва това 8/5?
и как по първи признак като той е само за ъгли?
Някой може ли да помогне

задачата е от тук
http://math-bg.com/wp-content/upload...S05_U_R_10.pdf
8ма задача

[Chacho]

Ами имаш следното:

Нека АА1 и ВВ1 са медианите

АМ = 2/3.АА1 (това си е свойство на медицентъра)
АР = 1/4.АА1 (точката дели медианата в отношение 1 към 3, но отношението на АР към цялата медиана е 1/(1+3))
РМ = АМ-АР = (2/3)АА1 - (1/4)АА1 = (8/12 - 3/12)АА1 = 5/12.АА1

РМ/АМ = (5/12).АА1/(2/3).АА1 = (5/12)/(2/3) = 5.3/2.12 = 5/2.4 = 5/8

Аналогично QM/BM = 5/8

Така се получава, че ABM ~ PQM (признака за 2 пропорционални страни и ъгъл между тях)

Не само са подобни, но и коефициента на подобност е 8/5 (8 е АВМ, 5 е РQM)

Можеш да ползваш наготово, че отношението на лицата е коефициента². Но можеш да си докажеш 2-рата степен, това става така:

S'/S" = (a'.ha'/2) / (a".ha" / 2) = (a'.ha') / (a".ha"). = (a'/a") . (h'/h") = koef.koef = koef²

И така имаме, че SPQM/SABM = (5/8 )²

Аналогично за триъгълниците BMC, АМС и прилежащите им два малки триъгълника.

И тъй като SABC = SAMB+SBMC+SAMC, а лицето на малкия триъгълник е сбора от лицата на трите още по-малки, то отношението на малкия към АВС си е именно (5/8 )². Или (8/5)² за АВС към малкия (понеже се търси обърнато в условието, сега се усетих).



PS: Задачата беше интересна, отдавна не ми се беше налагало във форума да си правя чертеж, за да я реша.

[vargeorg]

Благодаря

[vargeorg]

S'/S" това S1 и S2 ли значи ?

[Chacho]

Да, просто ми изглеждаше по-чисто. Идеята е, че имаш две страни във формулата на лицето (страната и вис.), които умножаваш по това отношение и това двойно отношение влачи квадрата, който са сложили в решението.