Математиката като наука

„Математиката е онова, чрез което хората управляват природата и себе си”

А.Н. Колмогоров

„Знанието на хората заслужава името Наука в зависимост от това, каква роля играе в него числото”

Е. Борел

Математиката като наука

Развитието на математиката условно се разделя на няколко периода. Началото на всеки нов период се е ознаменувало със забележително научно постижение, което е определило преминаването на математиката в ново качествено състояние.

В зората на човешкото общество откритите в процеса на практическата дейност числа са били използвани при примитивното броене на предмети, дни и т.н.

В първобитното общество човек се е нуждаел само от числата, отговарящи на пръстите на ръцете му. С развитието на цивилизацията се е налагало да използва все по – големи числа, като процесът е продължавал столетия и е изисквал напрегнат интелектуален труд.

Зараждането на стоковия обмен води до необходимостта да се сравнява броя на предметите от един вид с броя на предметите от друг вид. Така възникват понятията „по-голямо”, „по-малко” „равно”. Това е времето и когато хората започват да събират числа. Доста по-късно се научават да изваждат числата, а след това – да ги умножават и делят. Даже през средните векове делението на числа се счита за нещо твърде сложно и е признак за извънредно висока образованост.

С откритието на действията с числа и на операциите над тях възниква науката аритметика. В началото се работи с относително неголеми числа: в бройната система на древна Гърция най-голямото число, което има е „мириада” – 10 000. Още Архимед (284 – 212 г. пр. н. е.) в съчинението си „Псалмит”- „Преброяване на песъчинките” достига до система, позволяваща да се изразяват произволно големи числа и показва, че естественият ред на числата е безкраен. Древногръцкият философ Аристотел ( 384 – 322 г. пр. н.е. ), като допуска в своите разсъждения безкрайността на математическото пространство, счита за безкрайна математическата права. Подобни признаци поддържа и Евклид ( 365 – 300 г. пр. н. е.). През IV в. пр. н. е. гръцките математици от Питагоровата школа откриват несъизмеримите отсечки, чиито дължини не са могли да изразят нито с цяло, нито с дробно число. Една от тези отсечки е диагоналът на квадрат със страни, равни на 1. Днес дължината на такава отсечка изразяваме с ирационалното число √2 . Изход от това положение намират, като под числа започват да разбират дължини на отсечки от прави. Така въпросите на аритметиката и алгебрата се свеждат до решаване на геометрични задачи, до създаване на геометричната теория на отношенията на Евдокс и до „геометричната алгебра”. В древногръцкото геометрично смятане, изложено в Евклидовите „Елементи”, събирането и изваждането на величини се свежда до същите операции с отсечки, умножението на величини – до построяване на правоъгълник чрез съответни отсечки, делението-до операцията „прилагане” на геометрични фигури.

Един от най – великите математици на древността е Аполоний от Перга (Мала Азия), живял през III – II век пр. н. е. Още като юноша отива в Александрия, важен център на елинистичната култура, където изучава математика при учениците на Евклид. Аполоний е и известен астроном. Трудът му „Конични сечения” се е състоял от 8 книги, от които само първите четири са достигнали до нас в оригинал, следващите три в арабски превод, а последната се е изгубила. В първата книга Аполоний разглежда всичките три вида криви от втори ред като равнинни сечения на един и същ произволно взет прав или наклонен кръгов конус, частите на който се простират от двете страни на върха. Той получава елипса, хипербола или парабола в зависимост от това, пресича ли равнината само едната част от конуса, двете му части, или е успоредна на една от образуващите на конуса.

Ако обобщим, след периода на натрупване на първичните факти, периодът на зараждането на математиката, който е продължил от дълбока древност до VI – V в. пр. н.е., идва периодът на елементарната математика (или математиката на постоянните величини), за начало на който се приема изграждането на геометрията като самостоятелна наука в евклидовите „Елементи”. Теорията на коничните сечения, явяваща се днес важна тема на равнинната аналитична геометрия, е едно от най-важните постижения на древногръцката геометрия. Тя става опорна точка на трудовете на Галилей и Кеплер, Ферма и Декард, Дезаре, Паскал, Лайбниц, Нютон, Ойлер, Лагранж и др.

Този период е продължил до XVII век, когато смятането с безкрайно малките величини слага началото на третия период – на класическата висша математика. Създадената от Н. И. Лобачевски и Я. Бояй през първата половина на XIX век неевклидова геометрия поставя началото на четвъртия период – периода на съвременната математика. През 1826 г. Н. И. Лобачевски (1792 – 1856 г.) открива първата неевклидова геометрия. До същото откритие независимо от него достига и унгарския математик Бояй. Опитите за доказателството на петия постулат ( И всеки път, когато права при пресичане с две други прави образува с тях вътрешни едностранни ъгли, сборът на които е по-малък от два прави, тези прави да се пресичат от онази страна, от която този сбор е по-малък от два прави. ) на Евклид изясняват кои теореми на геометрията се опират на този постулат и кои не.

Развитието на геометрията води до разглеждане на различни „пространства”: пространството на Лобачевски, проективното пространство, евклидовото и други пространства с различен брой измерения, риманови, топологични пространства и др.

Благодарение на тези теории става възможно развитието не само на науката математика, а и физиката и механиката, особено теорията на относителността на Айнщайн.

През този период развитие получава и алгебрата. Запазвайки основата си, тя преминава към изследване на операции, които по своите формални свойства само приличат на обикновените аритметични операции, в множества, елементите на които не са задължително числа, а обекти от произволно естество. Това намира приложение в анализа, геометрията, физиката, кристалографията и др.

Развитието на анализа и математическата физика довежда до възникване на нова област – функционален анализ. Благодарение на новите методи и геометрията на Лобачевски и Бояй става възможно създаване на нова област от науката, наречена от Хилберт метаматематика.

Откриването и бързото развитие на компютърната техника довежда до развитие на комплексно научно направление, което се занимава с проблемите на управлението и връзката, известно под наименованието кибернетика. Създадени са нови области на съвременната математика: теорията на игрите и теорията на информацията, които намират приложение в различни области на науката.