Математика

[kilers]

СЛУ, на които броят корени е по-малък или равен на броя на уравненията или не?

Кой клас/курс си?

Подобни на РеалМадридФен - 8 клас съм - Системи линейни уравнения.

[Chacho]

....

Е неговите не са линейни

Зад термина линейно уравнение се крие много проста идея. Неизвестното е от първа степен. Тоест няма да виждаш зверове от вида на ², √, log, т.н.

4х+5=8 е едно линейно уравнение. Решава се, като оставим само х от едната страна, а всичко друго го прехвърлим от другата.

4х=8-5
4х=3
х=3/4

Общият им вид е ах+b=0 (в горния случай като прехвърлим 8 отляво, получаваме 4х+5-8=0, тоест 4х-3=0 и а=4, b=-3).
Решението на всяко едно линейно уравнение става по този метод:
ax+b=0
ax=-b
Ако а=/=0, x=-b/a.


Какво значи "система" линейни уравнения? Значи, че ако намериш някакви неизвестни, те трябва да са решения ЕДНОВРЕМЕННО на всички уравнения. В тях има повече неизвестни, но ще забележиш, че броя им винаги е колкото броя на уравненията. Нека ти дам пример:

|4x+5y=12
|3x+2y=2

Сега ще решим едното по горния начин, като не си мислим че у е неизвестно, а някакво число.
4х+5у=12
4х=12-5у
х=(12-5у)/4

Вече знаем х колко е, сега ще заместим х със (12-5у)/4 във второто уравнение.

3x+2y=2
3.(12-5y)/4 + 2y = 2

Ще подведем под общ знаменател 4

(3.(12-5y)+8y) / 4 = 2

Махаме знаменателя като умножим двете страни на равенството по 4.

3.(12-5у)+8у = 8

36-15у+8у=8
-15у+8у=8-36
-7у=-28
у=(-28/-7)
у=4

Сега трябва да намерим х, но ние знаем, че той е (12-5у)/4, а вече знаем и че у=4

х=(12-5.4)/4 = (12-20)/4 = -8/4 = -2

Крайният отговор е х=-2, у=4.


Това всъщност е основният и универсален метод за решаване на системи линейни уравнения, който се нарича решаване, чрез заместване или решаване, чрез изразяване. Ето как изглежда той при система с две уравнения и две неизвестни:

1.Решаваш първото, като получиш х = израз, в който участва у.
2.Решаваш второто, като заместиш навсякъде х с "израз, в който участва у".
3.Като намериш у, пресмяташ "израз, в който участва у", за да разбереш колко е х.

А ако имаме три неизвестни?

|x+y+z=0
|x+2y+3z=1
|x+2y+4z=2

Същата работа, решаваме първото уравнение.

х=-у-z

Заместваме във второто

x+2y+3z=1
-у-z+2y+3z=1
y+2z=1

Сега ще направим това, което направихме с х.

y=1-2z

Накрая заместваме х в последното и като отанат само у и z, ще заместим и y.

x+2y+z=2
-y-z+2y+4z=2
y+3z=2

Заместваме у

1-2z+3z=2
z=1

От у=1-2z получаваме y=1-2.1=1-2=-1
От х=-y-z получаваме x=-(-1)-(1) = 1-1=0

Краен отговор: х=0, у=-1, z=1 (Можеш да заместиш в 3-те уравнения, да видиш, че са решения и на трите)


В крайна сметка, дори и да имаме повече неизвестни, методът е достатъчно прост.
1.Решаваме първото уравнение, като х=израз от останалите неизвестни.
2.Заместваме във следващото и решаваме, за да получим у = израз от останалите известни.
3.Продължаваме така, като на всяка стъпка намаляват неизвестните с по едно.
4.Като заместим в последното, ще е останало уравнение само с едно неизвестно (както горе остана само z). Може да е много дълго, но като пресметнем всичко, остава уравнение от вида az+b=0, което ние много лесно можем да решим.
5.С полученото z започваме да заместваме обратно в изразите, за да получим останалите неизвестни, докато не стигнем до първото (както в задачата пресметнахме накрая у и х).

На практика няма линейно уравнение, което да не можеш да решиш по този начин.



Понякога обаче излизат прекалено много сметки, ако са ти дадени много уравнения, с много неизвестни и много числа вътре в тях. Има един друг важен метод, който се нарича решаване чрез събиране и идеята му е дори по-проста от тази на първия метод. Той също е универсален за системите линейни уравнения и можеш да решиш всяка СЛУ по който си избереш от двата. Просто понякога единият ще е много по-изгоден (ще ти спести една страница), друг път - другия.

Нека ни е дадена системата

|4x+2y+7z=0
|5x+2y+7z=3
|4x+2y+8z=2

Забелязваме, че първия и втория ред много си приличат. Ами можем да извадим от първото уравнение второто. В резултат получаваме (Лява страна на първо - лява страна на второ) = (дясна страна на първо - дясна на второ)

4x+2y+7z-5x-2y-7z=0-3
-x=-3
x=3

Така много бързо получихме едно от неизвестните. Сега можем да "изгоним" едно от уравненията и да решим останалите, като навсякъде заместим х със 3. Кое ще изгоним е наш личен избор. Сега, например, ще изпъдим първото.

|5.3+2y+7z=3
|4.3+2y+8z=2

|15+2y+7z=3
|12+2y+8z=2

|2y+7z=-12
|2y+8z=-10

Сега можем да решим чрез заместване, но отново забелязваме, че числата пред у-ците много си приличат. Ще извадим отново от първото второто. Получаваме:

2у+7z-2y-8z=-12-(-10)
-z=-12+10
-z=-2
z=2

Вече имаме х=3, z=2. Ако заместим в кое да е от уравненията с тези стойности, ще получим и у.

2у+8z=-10
2y+8.(2)=-10
2y+16=-10
2y=-26
y=-13


Така получихме решенията.

Сега да видим ето тази задача:

|2x+3y=0
|4x+5y=2

Тук не можем да извадим, за да разкараме някое от неизвестните. Но, можем да умножим първото уравнение от двете страни по 2. Така ще получим:

|4х+6у=0
|4х+5у=2

Сега вече можем да продължим решаването oтново чрез събиране на уравненията (казва се събиране, защото изваждането се получава, като умножим второто по -1 от двете страни и ги съберем).

Няма да го решавам примера, получава се у=-2, х=3.

Тоест, метода е:

1.Умножаваме левите и десните страни на две уравнения по подходящи числа, така че да се получат едни и същи числа пред някое от неизвестните. (подходящи числа може да са: 1 - уравнението остава непроменено; -1 - за да получим подходящи знаци за изваждане/събиране. 0 никога не е подходящо число, можеш сам да си обясниш защо)
2.Изваждаме двете уравнения
3.Получихме ново уравнение към системата, което е с едно неизвестно по-малко.
4.Можем да продължим процеса на събиране на уравнения, докато не изчистим всички неизвестни без едно (тоест, получаваме решение), а може и да си продължим по метода "решаване чрез заместване)
5.С получената стойност започваме да заместваме назад, за да получим и останалите решения

Забележка: Това, че събираме две уравнения и получаваме ново, не означава, че старите изчезват. Те все още си важат и можем да ги използваме още за събиране с някои от останалите уравнения.


Досега имаше само по едно число пред всяко от неизвестните. Може да има в някои от задачите и изрази (например (4.5+5).х ). Това да не те притеснява, просто извършваш действията и продължаваш. Ако в израза има и букви (например (5+2.а).х ), тогава си мисли, че цялото (5+2.а) е едно число и го решаваш натам, а накрая в отговорите за х,у,z вместо да получиш точно определено число (например 5), ще получиш израз, в който участва буквата (например х=8-3.а)


Друго не се сещам какво да ти кажа за линейните уравнения, засега е това. Ако имаш въпроси или проблеми със задачите, винаги можеш да питаш тук.
3.