Директен обект - пряко допълнение - Акузатив.
Индиректен обект - непряко допълнение - Датив.

Някои глаголи имат рекция, която изисква конкретен падеж.
warten auf (Akk.)
sich kümmern um (Akk.)
arbeiten an (D)

Някои предлози също изискват категоричен падеж (mit - D, ohne - Akk). При цялата група от auf, hinter, unter, neben и т.н. зависи пък от глагола - ако има движение - Akk, ако няма - Dativ.

Ich lege das Buch auf den Tisch.
Das Buch liegt auf dem Tisch.

В общи линии, хващаш една граматика и четеш.