ВИША МАТЕМАТИКА

[Chacho]

1 задача

Първото нещо, което трябва да се съобрази в задачата е, че произведението на 3 числа е нечетно, само ако и трите числа са нечетни. От 1 до 49 има 25 нечетни числа.

Второто нещо е, че ще е по-удобно да пресметнем шанса да сме изтеглили 3 нечетни измежду всички. За това ще ползваме вариации, за да вземем предвид и възможните размествания. После ще умножим тази вероятност по вероятността тези 3 нечетни да са първите 3 числа.

Тогава благоприятните ни случаи ще бъдат вариация на 25 елемента 3 клас. (възможностите за избиране на 3 нечетни числа измежду 25)

Всичките случаи пък са вариация на 49 елемента 6 клас.

Вероятността е благоприятните/всички = (25.24.23) / (49.48.47.46.45.44). Тази вероятност я означавам с Р1.

Нека сега изчислим вероятността 3-те нечетни да са сред първите 3 изтеглени. Благоприятните случаи са всички възможности за 3 числа да са на първите 3 позиции, тоест съобразяваме разместванията им. Това е пермутация на 3 елемента, или 1.2.3. Всичките случаи са пък възможните разместванията на 6-те числа, тоест пермутация на 6 елемента, или 1.2.3.4.5.6.

Вероятността е благоприятните/всички = 1.2.3/1.2.3.4.5.6=1/4.5.6 Тази вероятност я означавам с Р2.

Отговорът на задачата е Р1.Р2 = 25.24.23 / 49.48.47.46.45.44.6.5.4

2 задача

Благоприятните ни възможности са комбинация от 3 сини, комбинация от 3 червени и комбинация от 3 зелени. Пресмятаме ги:
C3/3 = 1
C3/3 = 1
C4/3 = 4.3.2/2.3 = 4

Всичките възможности са комбинация 3 топки измежду 12:
С12/3 = 12.11.10/1.2.3 = 220

Вероятността е благоприятните/всички = (1+1+4) / 220 = 6/220 = 3/110


3 задача

Вероятността да работи върху първата е 100%-95%=5%
Вероятността да работи върху втората е 100%-85%=15%
Вероятността да работи върху втората е 100%-65%=35%

Вероятността да работи върху коя да е от тях е 5%+15%+35%=55%


4 задача

Нека първо построим общата формула, която се решава чрез Бейс.

(Тука за да си не редактирам цялата част, на първата четвърт ще и викам първи, на втората - втори и т.н.)

Благоприятните случаи са вероятността да му се е паднал втория и да го е издържал. Тази вероятност ще я кръстя с р(В)
Какви са обаче всичките случаи? Тъй като е казано, че студентът е взел изпита, отпадат всички възможности да не го е взел. Тоест, всичките случаи ще бъдат вероятността да е взел първия + вероятността да е взел втория + вероятността да е взел третия + вероятността да е взел четвъртия. Ще означа тези вероятности с р(П), р(В), р(Т), р(Ч). (Буквите идват от първи, втори, трети, четвърти)

Тоест, формулата е:

р(В) / ( р(П) + р(В) + р(Т) + р(Ч) )

Нека сега изчислим тези четири вероятности. Вероятността да е взел някоя част я смятаме, като умножим вероятността да се падне по вероятността да я издържи. Така получаваме:

р(П) = (99/100) . (1/4)
р(В) = (3/4) . (1/4)
р(Т) = (1/2) . (1/4)
р(Ч) = (1/2) . (1/4)

Заместваме в голямата формула

[(3/4).(1/4)] / [ (99/100).(1/4) + (3/4).(1/4) + (1/2).(1/4) + (1/2).(1/4) ] = [3/12] / [ (1/4). (99/100 + 75/100 + 100/100) ] = [3/12] / [(1/4).(274/100)] = (1/4) / (274/400) = 100/274 = 50/137


5 задача

Имаме 10 отбора. Тъй като са нужни два отбора за един мач, в първия кръг ще има 10/2 = 5 мача. Това са ни благоприятните случаи - 5 възможности за 2 отбора да участват на първи кръг.

Сега мислим колко ще са всичките мачове. Първият отбор ще играе с 9 други отбора. Вторият отбор също играе с 9 други, но мачът с първия вече сме го преброили, така че ще има още 8 мача. По същата логика третият ще има още 7 мача. Тоест, броят на всички мачове е:
9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45

Така вероятността е благоприятните/всички = 5/45 = 1/9




ЕДИТ: Имах грешка на първа задача, та я поправих. Сега мисля, че е вярна. Надявам се и другите да са, уж ги прегледах пак.