Математика- ПОМОЩ!

[kotetokateto]

Ако може да ми помогнете за една задачка, ще съм ви супер благодарна

Даден е остроъгълен тр-к АBC, H- ортоцентър.
а) <А=80
<B=70,, Намерете: <AHB, <AHC, <BHC
б) <С=40, Намерете: <CAH, <CBH
в)Докажете: <CAH=<CBH
<ABH=<ACH
<BAH=<BCH
г)ако АН=5цом, <А=45, намерете BC. Потърсете еднакъв триъгълник. в който да включите дадената и търсената отсечка.

[Chacho]

Лема:

Ъгълът в триъгълник, заключен между височините на два върха е равен на 180-ъгълът при третият връх.

Доказателство:

Нека АА1 и ВВ1 са височини, Н е ортоцентър.

От четириъгълникът НА1СВ1 => <А1НВ1 = 360-90-90-<С = 180-<С



Задача 1

а) От лемата => <АНВ = 180-<С = 180-(180-<А-<В) = <А+<В = 150
б) От триъг. АА1С => <САА1 = 90-<С = 90-40 = 50
Аналог. от триъг ВВ1С => <СВВ1 = 90-40=50

(Това са всъщност ъглите <САН и <СВН)

в) От доказаното в б) => първите два ъгъла са 90-<С
Аналогично <АВН = <АСН = 90-<А и <ВАН = <ВСН = 90-<В

г)
От доказаното в б=> <АВВ1 = 90-<А = 45 => триъг. АВВ1 е равнобедрен=>
АВ1 = ВВ1 *

От лемата => <АНС = 180-<В = 180-(180-<А-<С) = <А+<С
От триъг. В1СН => <В1НС = 90-<В1СН = 90-45 = 45 => <В1СН = <А

<АНС = <АНВ1+<В1НС
<А+<С = <АНВ1+<А
<АНВ1 = <С **


Триъгълник АВ1Н еднакъв на триъгълник ВВ1С

1. АВ=ВВ1 (*)
2. <АНВ1 = <В1СВ = <С (**)
3. <АВ1Н = <ВВ1С = 90 (от височините)

=> АН = ВС = 5

[kotetokateto]

Благодаря ти