Въпрос: Остър ъгъл и произволна точка L

[skater4e7o]

Нека е даден остър ъгъл AOP и точка L е избрана произволно във вътрешността на този
ъгъл. Да означим OL разстоянието на тази точка до върха на ъгъла AOP. Избираме
произволно точки M и N съответно върху раменете OP и OA на дадения ъгъл и разглеждаме
получения триъгълник MLN. Да се намерят такива точки M и N съответно върху раменете
OP и OA на дадения ъгъл, за които полученият триъгълник MLN има минимален периметър.



Решение (симетрия) (от друга тема): Нека построим симетричните точки на L спрямо правите а и p. Да ги означим съответно като F и Q. Нека правата FQ пресича а и р съответно в точки N и M.
Тогава PMNL=LN+LM+NM=NF+MQ+NM=FQ
Сега да вземем произволни точки N1∈a;M1∈p=>PM1N1L=LN1+N1M1+M1L=FN1+N1M1+M1Q>FQ (неравенство между страните в четириъгълник)=> периметърът ще е минимален, когато M и N са пресечните точки на раменете на ъгъла с правата, минаваща през симетричните точки на т.L спрямо тези рамене (правите а и р).

Въпросът ми е как може да се намери минималният периметър на триъгълника MLN по дадени:
- големина на острия ъгъл ОP
- дължина на разстоянието OL
Благодаря Ви.

[inewton]

Защо те интересува? Ваканция е, почивай си!

[inewton]

Пробвай с принципа на Ферма.

[skater4e7o]

Относно една програма на Java е. Получих отговор от math10 forum, Ще го публикувам и тук, ако може да бъде полезен някому.

Нека означим с M2 пресечната точка на лъча Op→ с отсечката LQ (по Вашия чертеж).
По същия начин да означим с N2 пресечната точка на лъча Oa→ с отсечката LF.
За десетокласниците и някои деветокласници е лесно. Ще намерят отсечката M2N2 като първо построят окръжност с диаметър OL - това е възможно, защото ъглите ∠OM2L=∠ON2L=90∘, а след това ще приложат синусова теорема за M2N2L.
Ако острият ъгъл е α (на Вашия чертеж е с връх O - между лъчите Op→ и Oa→ ),
то по тази теорема MNsinα=2R=OL и следователно MN=OLsinα.
Но M2N2 е средна отсечка в ΔFQL, следователно въпросният периметър, който е равен на FQ,
е FQ=2OLsinα.



Благодарности на Knowledge Greedy.

[inewton]

А ако беше използвал принципа на Ферма нямаше да се наложи да използваш толкова теореми и решението щеше да бъде по- оригинално.